Под постоянной опекой М. Ростроповича Фёдор Елесин начал свой музыкальный путь в Средней специальной музыкальной школы Санкт-Петербургской государственной консерватории, где он, среди прочего, учился у Владимира Атапина, Елены Дерновой, Александра Пономаренко и Алексея Васильева и уже в возрасте 13-ти лет выступал вместе с Государственным симфоническим оркестром Санкт- Петербурга в качестве солиста, в том числе на первом российском телеканале "ОРТ".
С 1999 виолончелист продолжает своё обучение в Гамбуржской высшей школе музыки и театра у Вольфганга Мельгорна и заканчивает его концертным экзаменом в 2009-м году. Затем благодаря поддержке гамбуржского Фонда Греве следует обучение в Интернациональном институте камерной музыки в Мадриде у профессоров Ральфа Готони, Бруно Канино и Менахема Пресслера. Федор Елесин получил 24 премии за участие в различных музыкальных конкурсах, в том числе на Международном музыкальном конкурсе "Новая Классика", на Международных фестивалях "Виртуозы 2000" и "Дворцы Санкт- Петербурга", на немецком национальном конкурсе "Югенд музицирт", на Международном конкурсе Фонда Элизы-Майер, на Международном конкурсе в Мулен д'Анде во Франции, на на Международном конкурсе Фонда ИБЛА в Италии, а так же он получил среди прочего "Премию Прокофьева".
После записи последнего компакт-диска на личной виолончели последнего русского царя Николая II в прессе Фёдора Елесина стали называть "царём виолончели". Не удивительно, ведь виолончелист выступал на различных фестивалях в самых престижных концертных холлах, включая Карнеги-холл в Нью-Йорке, Берлинской филармонии, Санкт- Мартен-ин-зе-Филдс в Лондоне, в том числе с некоторыми из лучших музыкантов нашего времени, как Виктор Третьяков или Давид Герингас.
С некоторого времени он так же успешно организует собственные фестивали и серии концертов, в которых он, среди прочего, объединяет под одной крышей концерты, мастер-классы с известными профессорами и музыкальные конкурсы. Примером тому могут служить "Музыкальные Острова Европы" (Music Island Europa) "МУЗИТЕКТУРА#" (Musitektur#), "Музакальная Ганза" (MUSIKHANSA ) и "Арабески в России" (ARABESQUES EN RUSSIE ).
Как многократный победитель конкурса Немецкого Фонда Музыкальных Инструментов, с февраля 2006-го года Федор Елесин играет на принадлежащей фонду виолончели работы Шарля Франсуа Ганд (Париж 1842) (Charles François Gand ).